设f(x)={(φ(x)-cosx)/x,x≠0,a,x=0},其中φ(x)具有二阶导数,且φ(0)=1,φ'(0)=0.1.确定a的值,使f(x)在x=0处连续2.求f'(x)3.讨论f'(x)在x=0处的连续性
更新时间：2024-10-09 06:30:28
1人问答
问题描述：
设f(x)={(φ(x)-cosx)/x,x≠0,a,x=0},其中φ(x)具有二阶导数,且φ(0)=1,φ'(0)=0.
1.确定a的值,使f(x)在x=0处连续
2.求f'(x)
3.讨论f'(x)在x=0处的连续性
翟玉春回答：
(1)lim(x→0)f(x)=lim(φ(x)-cosx)/x=lim(φ'(x)+sinx)=a
所以a=0
(2)当x≠0时,f'(x)=[(φ'(x)+sinx)x-(φ(x)-cosx)]/x^2
(3)lim(x→0)f'(x)=lim(xφ'(x)-φ(x)+xsinx+cosx)/x^2
=lim(φ'(x)+φ''(x)-φ'(x)+sinx+xcosx-sinx)/(2x)
=lim(φ''(x)+xcosx)/(2x)
=1/2limφ''(x)/x+1/2
∴若当x→0时,φ‘’(x)~x,则f'(x)在x=0处连续,否则不连续
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