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证明不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有:1+x)n>1+nx.
更新时间:2024-05-09 14:31:07
1人问答
问题描述:

证明不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有:

1+x)n>1+nx.

冯德谦回答:
  证明:①当n=2时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,   ∵x≠0,∴1+2x+x2>1+2x=右边,   ∴n=2时不等式成立   ②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,   即(1+x)k>1+kx,   当n=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0,   左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,   而右边=1+(k+1)x,   所以左边>右边   这就是说,原不等式当n=k+1时也成立.   根据①和②,原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.   故1+x)
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