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高二数列题:设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明(1)an>=n+2(2)1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)=<1/2
更新时间:2024-05-10 09:42:54
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问题描述:

高二数列题:设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……

设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明

(1)an>=n+2

(2)1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)=

陈世浩回答:
  (1)当n=1时,a1>=3=1+2,an>=n+2成立;   当n>1时,an=(an-1)^2-nan-1+1,令S=an-(n+2)   =(an-1)^2-nan-1+1-(n+2)   =(an-1)^2-(n+1)an-1-1.   我们把S看作是以an-1为变数的二次函数,其中,   二次项系数=1大于0,   △=[-(n+1)]^2-4*1*(-1)=(n+1)^2+4>0,因此,S>0,   即an>n+2成立.   结合a1>=3有,an>=n+2成立.
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